9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = 3√13 / 13. Найдите длину стороны BC.

Решение:

1. Определение сторон: В прямоугольном треугольнике ABC: AC - прилежащий катет к углу A, BC - противолежащий катет к углу A, AB - гипотенуза.
2. Использование косинуса: По определению, косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   \( c o s A = \ f r a c{AC}{AB})
3. Нахождение гипотенузы: Подставим известные значения:
   \( \ f r a c{3\ s q r t{13}}{13} = \ f r a c{6}{AB})
   Выразим AB:
   \( AB = \ f r a c{6 \times 13}{3\ s q r t{13}}} = \ f r a c{78}{3\ s q r t{13}}} = \ f r a c{26}{\ s q r t{13}}})
4. Использование синуса (или теоремы Пифагора): Теперь найдем синус угла A. Зная, что \( s i n^2 A + c o s^2 A = 1 \), найдем \( s i n A \):
   \( s i n^2 A = 1 - (\ f r a c{3\ s q r t{13}}{13})^2 = 1 - \ f r a c{9 \times 13}{169} = 1 - \ f r a c{117}{169} = \ f r a c{52}{169})
   \\(s i n A = \ s q r t{\ f r a c{52}{169}} = \ s q r t{\ f r a c{4 \times 13}{169}} = \ f r a c{2\ s q r t{13}}}{13}\)
5. Нахождение BC: Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   \( s i n A = \ f r a c{BC}{AB})
   \\(BC = AB \times s i n A = \ f r a c{26}{\ s q r t{13}}} \times \ f r a c{2\ s q r t{13}}}{13} = \ f r a c{52}{13} = 4\)

Ответ: 4