9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = \(\frac{6}{\sqrt{85}}\). Найдите длину стороны BC.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.

Нам даны:

• Катет AC = 6
• Косинус угла A, \(\cos A = \frac{6}{\sqrt{85}}\).

В прямоугольном треугольнике косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Мы знаем \(AC = 6\) и \(\cos A = \frac{6}{\sqrt{85}}\). Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{6}{\sqrt{85}} = \frac{6}{AB} \]

Чтобы найти длину гипотенузы AB, мы можем решить это уравнение. Если числители равны, то и знаменатели должны быть равны:

\[ AB = \sqrt{85} \]

Теперь нам нужно найти длину катета BC. Мы можем использовать теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).

Подставим известные значения:

\[ 6^2 + BC^2 = (\sqrt{85})^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ 36 + BC^2 = 85 \]

Теперь найдем \(BC^2\):

\[ BC^2 = 85 - 36 \]

\(BC^2 = 49\)

Чтобы найти BC, извлечем квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{49} \]

\(BC = 7\)

Ответ: 7