9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка AH.

Решение:

1. Найдем длину катета BC:
   В прямоугольном треугольнике ABC, $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$.
   Тогда $$BC = AB \times \sin A = 45 \times \frac{1}{3} = 15$$.
2. Найдем длину катета AC:
   По теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800$$.
   $$AC = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30\sqrt{2}$$.
3. Найдем длину высоты CH:
   Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times CH \times AB$$.
   $$\frac{1}{2} \times 30\sqrt{2} \times 15 = \frac{1}{2} \times CH \times 45$$.
   $$450\sqrt{2} = 45 \times CH$$.
   $$CH = \frac{450\sqrt{2}}{45} = 10\sqrt{2}$$.
4. Найдем длину отрезка AH:
   В прямоугольном треугольнике ACH, $$AH^2 = AC^2 - CH^2$$.
   $$AH^2 = (30\sqrt{2})^2 - (10\sqrt{2})^2 = 1800 - 200 = 1600$$.
   $$AH = \sqrt{1600} = 40$$.
5. Альтернативный способ:
   В прямоугольном треугольнике ABC, $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{30\sqrt{2}}{45} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.
   В прямоугольном треугольнике ACH, $$AH = AC \times \cos A = 30\sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{30 \times 2 \times 2}{3} = \frac{120}{3} = 40$$.

Ответ: 40