9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 45, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка АН.

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса острого угла, имеем:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Нам дано, что sin A = 1/3 и AB = 45. Подставим эти значения:

\[ \frac{1}{3} = \frac{BC}{45} \]

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе части уравнения на 45:

\[ BC = \frac{1}{3} \times 45 \]

\[ BC = 15 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол A у них общий. CH — высота, значит, угол CHA равен 90°.

В треугольнике ACH мы знаем гипотенузу AC и угол A. Нам нужно найти прилежащий катет AH.

Для этого сначала найдем длину гипотенузы AC. В прямоугольном треугольнике ABC применим теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ AC^2 + 15^2 = 45^2 \]

\[ AC^2 + 225 = 2025 \]

\[ AC^2 = 2025 - 225 \]

\[ AC^2 = 1800 \]

\[ AC = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30\sqrt{2} \]

Теперь в прямоугольном треугольнике ACH, мы можем использовать косинус угла A, чтобы найти AH:

\[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]

Сначала найдем cos A. Мы знаем sin A = 1/3. Используем основное тригонометрическое тождество: sin² A + cos² A = 1.

\[ (\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{1}{9} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь подставим значения cos A и AC в формулу для AH:

\[ \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{AH}{30\sqrt{2}} \]

Умножим обе части на 30√2:

\[ AH = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 30\sqrt{2} \]

\[ AH = \frac{2 \times 30 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}{3} \]

\[ AH = \frac{60 \times 2}{3} \]

\[ AH = \frac{120}{3} \]

\[ AH = 40 \]

Ответ: 40