9 В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB = 20, tg A = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\). Найдите длину стороны АС.

Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B.

Нам дан тангенс угла A: ∅tg A = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, AD = DB = AB/2 = 20/2 = 10.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. У нас есть:

• ∠A
• AD = 10 (прилежащий катет к углу A)
• CD (противолежащий катет к углу A)
• AC (гипотенуза)

Мы знаем, что ∅tg A = \(\frac{CD}{AD}\). Подставим известные значения:

\[ \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{CD}{10} \]

Решим для CD:

\[ CD = 10 \times \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \]

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC, найдем длину AC:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ AC^2 = 10^2 + (4\sqrt{6})^2 \]

\[ AC^2 = 100 + (16 \times 6) \]

\[ AC^2 = 100 + 96 \]

\[ AC^2 = 196 \]

\[ AC = √196 \]

\[ AC = 14 \]

Ответ: 14