9. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Найдите tg A, если AB=10, AC=16.

Решение:

1. Анализ треугольника:

   По условию, $$AB = BC$$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным. Углы при основании такого треугольника равны, то есть $$\angle A = \angle C$$.

2. Использование теоремы косинусов (или других методов):

   У нас есть длины двух сторон $$AB = 10$$ и $$AC = 16$$. Поскольку $$AB = BC$$, то $$BC = 10$$.

   Мы можем найти косинус угла A, используя теорему косинусов для стороны BC:

   \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \]

   \[ 10^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos A \]

   \[ 100 = 100 + 256 - 320 \cdot \cos A \]

   \[ 0 = 256 - 320 \cdot \cos A \]

   \[ 320 \cdot \cos A = 256 \]

   \[ \cos A = \frac{256}{320} = \frac{128}{160} = \frac{64}{80} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \]

3. Нахождение тангенса:

   Мы нашли, что $$\cos A = \frac{4}{5}$$. Теперь мы можем найти $$\sin A$$ с помощью основного тригонометрического тождества $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$:

   \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} \]

   \[ \sin A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]

   (Мы берем положительный корень, так как угол A в треугольнике является острым).

   Теперь найдем тангенс:

   \[ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \]

Ответ: $$\frac{3}{4}$$