9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 5, cos A = \(\frac{5\sqrt{74}}{74}\). Найдите длину стороны ВС.

Привет! Давай решим эту задачку по геометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой (90°).

Нам даны:

• Сторона AC = 5
• Косинус угла A: \( \cos A = \frac{5\sqrt{74}}{74} \)

Нам нужно найти длину стороны BC.

В прямоугольном треугольнике косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{\text{Прилежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Из этого соотношения мы можем найти длину гипотенузы AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} \]

Подставим известные значения:

\[ AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{74}}{74}} \]

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:

\[ AB = 5 \times \frac{74}{5\sqrt{74}} \]

Сокращаем 5:

\[ AB = \frac{74}{\sqrt{74}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{74}\) чтобы избавиться от корня в знаменателе:

\[ AB = \frac{74 \times \sqrt{74}}{\sqrt{74} \times \sqrt{74}} = \frac{74\sqrt{74}}{74} = \sqrt{74} \]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы AB = \(\sqrt{74}\) и катета AC = 5, мы можем найти катет BC, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 5^2 + BC^2 = (\sqrt{74})^2 \]

\[ 25 + BC^2 = 74 \]

Теперь найдем \(BC^2\):

\[ BC^2 = 74 - 25 \]

\[ BC^2 = 49 \]

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти BC:

\[ BC = \sqrt{49} \]

\[ BC = 7 \]

Ответ: 7