9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 100, sin A = 4/5. Найдите длину отрезка АН.

Краткая запись:

• ∆ABC, ∠C = 90°
• CH — высота
• AB = 100
• sin A = 4/5
• Найти: AH — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В △ABC найдем длину катета BC. Используем определение синуса: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
   \( BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80 \).
2. Шаг 2: В △ABC найдем длину катета AC. Используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
   \( AC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600 \).
   \( AC = \sqrt{3600} = 60 \).
3. Шаг 3: В △ACH найдем длину отрезка AH. Используем определение косинуса: \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).
   Сначала найдем \( \cos A \). Так как \( \sin A = \frac{4}{5} \), то \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
   \( AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36 \).

Ответ: 36