9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. Нахождение BC:
   В прямоугольном треугольнике ABC, \( \text{sin A} = \frac{BC}{AB} \).
   Нам дано \( \text{sin A} = \frac{5}{6} \) и \( AB = 36 \).
   Следовательно, \( \frac{BC}{36} = \frac{5}{6} \).
   \( BC = 36 \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot 5 = 30 \).
2. Нахождение BH:
   В прямоугольном треугольнике BHC (угол H = 90°), \( \text{sin B} = \frac{CH}{BC} \) и \( \text{cos B} = \frac{BH}{BC} \).
   Найдем \( \text{cos A} \):
   \( \text{cos}^2 A + \text{sin}^2 A = 1 \)
   \( \text{cos}^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36} \)
   \( \text{cos A} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \) (так как A - острый угол, косинус положителен).
3. Связь углов:
   В треугольнике ABC, \( \text{sin B} = \text{cos A} = \frac{\sqrt{11}}{6} \) и \( \text{cos B} = \text{sin A} = \frac{5}{6} \).
4. Вычисление BH:
   Теперь используем \( \text{cos B} = \frac{BH}{BC} \).
   \( \frac{BH}{30} = \frac{5}{6} \)
   \( BH = 30 \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot 5 = 25 \).

Ответ: 25