9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 90, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка АН.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^° \).
• Дано: \( AB = 90 \) и \( \sin A = \frac{2}{3} \).
• Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
• Отсюда \( BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60 \).
• Теперь найдем длину катета AC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 = AB^2 - BC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500 \).
• \( AC = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \cdot 5} = 30\sqrt{5} \).
• CH — высота, проведенная из вершины прямого угла. В прямоугольном треугольнике справедливо соотношение: \( AC^2 = AH \cdot AB \).
• Отсюда \( AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{4500}{90} = 50 \).

Ответ: 50