9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 80, sin A = 0,75. Найдите длину отрезка ВН.

Пошаговое решение:

1. Находим длину катета BC.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

У нас дано: \( AB = 80 \) и \( \sin A = 0.75 \).

\[ 0.75 = \frac{BC}{80} \]

\[ BC = 0.75 \cdot 80 \]

\[ BC = \frac{3}{4} \cdot 80 \]

\[ BC = 3 \cdot 20 = 60 \]

Длина катета BC равна 60.

2. Находим длину высоты CH.

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведенная к гипотенузе AB, делит его на два отрезка AH и BH. Также, треугольник ABC подобен треугольникам ACH и CBH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол B в этом треугольнике равен углу B в треугольнике ABC.

Сначала найдем косинус угла A:

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \]

\[ \cos^2 A = 1 - (0.75)^2 = 1 - 0.5625 = 0.4375 \]

\[ \cos A = \sqrt{0.4375} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

Теперь найдем косинус угла B:

\[ \cos B = \sin A = 0.75 \]

В прямоугольном треугольнике CBH:

\[ \cos B = \frac{BH}{BC} \]

\[ 0.75 = \frac{BH}{60} \]

\[ BH = 0.75 \cdot 60 = \frac{3}{4} \cdot 60 = 3 \cdot 15 = 45 \]

Длина отрезка BH равна 45.

Альтернативный способ (через высоту):

Площадь треугольника ABC:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]

Сначала найдем AC:

\[ AC = AB \cdot \cos A = 80 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 20\sqrt{7} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{7} \cdot 60 = 600\sqrt{7} \]

Также площадь можно выразить через высоту CH и гипотенузу AB:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB \]

\[ 600\sqrt{7} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot 80 \]

\[ CH = \frac{600\sqrt{7}}{40} = 15\sqrt{7} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH:

\[ BH^2 + CH^2 = BC^2 \]

\[ BH^2 + (15\sqrt{7})^2 = 60^2 \]

\[ BH^2 + 225 \cdot 7 = 3600 \]

\[ BH^2 + 1575 = 3600 \]

\[ BH^2 = 3600 - 1575 = 2025 \]

\[ BH = \sqrt{2025} = 45 \]

Ответ: 45