9. Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем — числа, сумма цифр которых равна 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д. На каком месте оказалось число 996?

Сумма цифр числа 996 равна 9 + 9 + 6 = 24. Значит, перед ним записаны все числа с суммой цифр от 1 до 23, а затем числа с суммой цифр 24, идущие до 996 включительно.

1. Рассмотрим числа от 000 до 999. Их можно представить как трёхзначные записи с ведущими нулями. По симметрии суммы цифр 24, 25, 26 и 27 встречаются столько же раз, сколько суммы 3, 2, 1 и 0 соответственно: 10 + 6 + 3 + 1 = 20.
2. Следовательно, среди чисел от 000 до 999 сумма цифр меньше 24 у 1000 − 20 = 980 записей. Исключаем 000 и добавляем 1000, у которого сумма цифр равна 1: перед группой чисел с суммой цифр 24 стоят 980 чисел от 1 до 1000.
3. В группе с суммой цифр 24 число 996 — десятое по возрастанию. Действительно, если заменить каждую цифру числа на дополнение до 9, записи с суммой 24 перейдут в записи с суммой 3, а порядок чисел обратится. Записям с суммой цифр 3 соответствуют 10 наборов цифр; 996 соответствует набору 003 и стоит последним.
4. Место числа 996: 980 + 10 = 990.

Ответ: на 990-м месте.