9. Вывести формулу для точного расчета сопротивления с учетом внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, определить методические погрешности измерения сопротивления с помощью разных схем включения (см. рис. 9).

Точное измерение сопротивления с учетом погрешностей приборов

При измерении сопротивления \( R_x \) с помощью вольтметра и амперметра возникают погрешности из-за того, что эти приборы сами обладают сопротивлением (внутреннее сопротивление амперметра \( R_A \) и вольтметра \( R_V \)).

Схема 1 (Вольтметр подключается до амперметра):

_xVU

В этой схеме амперметр измеряет ток \( I \), который проходит и через \( R_x \), и через вольтметр. Вольтметр измеряет напряжение \( U_{Vx} \) на параллельно соединенных \( R_x \) и \( R_V \).

Показания амперметра: \( I \)

Показания вольтметра: \( U_{V} \) (напряжение на \( R_x \) и \( R_V \) одновременно)

Тогда фактическое напряжение на \( R_x \) равно \( U_{Rx} = U_{V} \).

Из закона Ома для участка цепи: \( R_x = \frac{U_{Rx}}{I_{Rx}} \)

Где \( I_{Rx} \) — ток, протекающий через \( R_x \). Этот ток равен: \( I_{Rx} = I - I_V \), где \( I_V \) — ток, протекающий через вольтметр.

Ток через вольтметр: \( I_V = \frac{U_V}{R_V} \).

Тогда \( I_{Rx} = I - \frac{U_V}{R_V} \).

Формула для расчета \( R_x \) в этой схеме:

\[ R_x = \frac{U_V}{I - \frac{U_V}{R_V}} \]

Погрешность: В данной схеме амперметр измеряет ток, который больше фактического тока через \( R_x \) (так как через него идет и ток вольтметра). Это приводит к занижению измеряемого сопротивления.

Методическая погрешность (относительная):

\[ \gamma_{Rx} = \left( \frac{R_x}{R_V} \right) \]

Чтобы эта погрешность была мала, нужно, чтобы \( R_V \) было намного больше \( R_x \).

Схема 2 (Вольтметр подключается после амперметра):

_xVUA

В этой схеме амперметр измеряет ток \( I_x \), протекающий только через \( R_x \). Вольтметр измеряет напряжение \( U_{Vx} \) на последовательно соединенных \( R_x \) и \( R_A \).

Показания амперметра: \( I \) (ток через \( R_x \))

Показания вольтметра: \( U_{V} \) (напряжение на \( R_x \) и \( R_A \))

Фактическое сопротивление \( R_x \) равно:

\[ R_x = \frac{I_x}{I_x} \]

Здесь \( I_x = I \).

Однако, вольтметр измеряет напряжение \( U_V \) на всем участке, включающем \( R_x \) и амперметр. Фактическое напряжение на \( R_x \) равно \( U_{Rx} = U_V - U_A \), где \( U_A \) — падение напряжения на амперметре.

Ток через амперметр: \( I_x = I \).

Падение напряжения на амперметре: \( U_A = I_x \cdot R_A = I \cdot R_A \).

Тогда \( U_{Rx} = U_V - I \cdot R_A \).

Формула для расчета \( R_x \) в этой схеме:

\[ R_x = \frac{U_V - I \cdot R_A}{I} = \frac{U_V}{I} - R_A \]

Погрешность: В данной схеме вольтметр измеряет напряжение, которое больше фактического напряжения на \( R_x \) (так как включает падение напряжения на амперметре). Это приводит к завышению измеряемого сопротивления.

Методическая погрешность (относительная):

\[ \gamma_{Rx} = \left( \frac{R_A}{R_x} \right) \]

Чтобы эта погрешность была мала, нужно, чтобы \( R_A \) было намного меньше \( R_x \).

Выбор схемы:

• Если \( R_x \) >> \( R_V \) (сопротивление измеряемого объекта велико), то погрешность схемы 1 мала, и ее следует использовать.
• Если \( R_x \) << \( R_A \) (сопротивление измеряемого объекта мало), то погрешность схемы 2 мала, и ее следует использовать.
• В общем случае, погрешность схемы 1 меньше, если \( R_x \cdot R_A < R_V^2 \), а погрешность схемы 2 меньше, если \( R_x \cdot R_A > R_V^2 \).

Ответ: Для точного измерения сопротивления \( R_x \) с учетом сопротивлений амперметра \( R_A \) и вольтметра \( R_V \) используют две схемы. В схеме 1 \( R_x = \frac{U_V}{I - \frac{U_V}{R_V}} \), погрешность занижает результат. В схеме 2 \( R_x = \frac{U_V}{I} - R_A \), погрешность завышает результат. Выбор схемы зависит от соотношения \( R_x \), \( R_A \) и \( R_V \).