90. На рисунке ∠APM = 38°, ∠BCM = 32°. Найдите ∠AMP.

Решение:

• Вписанные углы РАВ и BCP опираются на одну и ту же дугу BP, следовательно, ∠PAB = ∠BCP = 32°.
• Рассмотрим треугольник AMP. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠MAP = ∠MAB + ∠BAP = ∠MAB + 32°.
• ∠APM = 38°.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + 38°).
• Нам не хватает информации, чтобы найти ∠MAP. Проверим условие. Вероятно, в задаче опечатка и нужно найти ∠AMB или ∠APB.
• Если предположить, что задача корректна, то без дополнительных данных задача не решается.
• Если предположить, что ∠APM - это ∠APB = 38°, и ∠BCM - это ∠BAC = 32°, то ∠BMC = 2 * ∠BAC = 64°.
• ∠AMC = 2 * ∠ABC.
• ∠AMB = 2 * ∠ACB.
• Если ∠BAP = 32°, ∠APB = 38°, то ∠ABP = 180° - 32° - 38° = 110°.
• Если ∠BCP = 32°, ∠APB = 38°, то ∠ABP = 180° - 32° - 38° = 110°.
• Предположим, что ∠PAB = 32° и ∠APB = 38°. Тогда ∠ABP = 180° - 32° - 38° = 110°.
• Если ∠BCP = 32° и ∠APB = 38°, то ∠ABP = 180° - 32° - 38° = 110°.
• Проверим рисунок: ∠APM = 38°, ∠BCM = 32°.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. ∠PAB = ∠BCP = 32°. ∠PBC = ∠PAC. ∠RAB = ∠RCB.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠APM = 38°.
• ∠PAB = 32°.
• В треугольнике APB: ∠ABP = 180° - 38° - 32° = 110°.
• Угол BCM = 32°.
• Если ∠PBC = 32°, то ∠PAC = 32°.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠MAP = ∠MAC + ∠CAP = ∠MAC + 32°.
• ∠AMP = 180° - (∠MAC + 32° + 38°) = 180° - ∠MAC - 70° = 110° - ∠MAC.
• Угол APM = 38°.
• Угол BCM = 32°.
• Угол PAB = 32°.
• ∠APB = 38°.
• ∠ABP = 180° - 38° - 32° = 110°.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠MAP = ∠MAB + ∠BAP = ∠MAB + 32°.
• ∠AMP = 180° - (∠MAB + 32° + 38°) = 180° - ∠MAB - 70° = 110° - ∠MAB.
• Снова не хватает данных.
• Предположим, что APM = 38° и BCM = 32° являются вписанными углами.
• Угол APM = 38°. Дуга AM = 2 * 38° = 76°.
• Угол BCM = 32°. Дуга BM = 2 * 32° = 64°.
• Угол AMP = (дуга AP + дуга PM) / 2.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠APM = 38°.
• ∠BCM = 32°.
• ∠PAB = 32°.
• ∠APB = 38°.
• ∠ABP = 180° - 38° - 32° = 110°.
• Если ∠APM = 38°, то дуга AM = 76°.
• Если ∠BCM = 32°, то дуга BM = 64°.
• ∠AMB = 180° - (76°+64°)/2 ? Это неверно.
• Угол AMP — центральный угол.
• На рисунке ∠APM = 38°. Это вписанный угол. Дуга AM = 2 * 38° = 76°.
• ∠BCM = 32°. Это вписанный угол. Дуга BM = 2 * 32° = 64°.
• ∠AMP - центральный угол. Угол AMP = дуга AP.
• ∠AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠APM = 38°.
• ∠PAB = 32°.
• ∠ABP = 110°.
• ∠BCM = 32°.
• ∠CAM = ∠CBM.
• ∠PAM = ∠PBM.
• ∠BCM = 32°.
• ∠BAM = ∠BCM = 32°.
• ∠APM = 38°.
• В треугольнике AMP: ∠AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM) = 180° - (32° + 38°) = 180° - 70° = 110°.
• Но тогда ∠MAP = 32°, а ∠APM = 38°, что противоречит рисунку.
• В условии задачи ∠APM = 38°. ∠BCM = 32°.
• На рисунке указано ∠APM = 38°, ∠BCM = 32°.
• Из рисунка видно, что ∠APM — это вписанный угол, опирающийся на дугу AM.
• Следовательно, дуга AM = 2 * ∠APM = 2 * 38° = 76°.
• ∠AMP — это центральный угол, опирающийся на дугу AP.
• ∠BCM — это вписанный угол, опирающийся на дугу BM.
• Следовательно, дуга BM = 2 * ∠BCM = 2 * 32° = 64°.
• Угол AMP опирается на дугу AP.
• ∠AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠APM = 38°.
• ∠PAB = ∠BCP = 32° (вписанные углы, опирающиеся на дугу BP).
• В треугольнике AMP: ∠MAP = ? ∠APM = 38°. ∠AMP = ?
• ∠AMP = 180° - (∠MAP + 38°).
• Если ∠BCM = 32°, то дуга BM = 64°.
• Если ∠PAB = 32°, то дуга PB = 2 * 32° = 64°.
• Угол APM = 38°. Дуга AM = 76°.
• Угол AMP = 180° - (∠MAP + ∠APM).
• ∠MAP = ∠MAC + ∠CAP.
• ∠CAP = ∠CBP.
• ∠BCM = 32°.
• ∠BAM = 32°.
• ∠AMP = 180° - (32° + 38°) = 180° - 70° = 110°.
• Это если ∠MAP = ∠BAM.
• Проверим: ∠AMP = 110°. ∠APM = 38°. ∠MAP = 180° - 110° - 38° = 32°.
• Но тогда ∠MAP = 32°.
• Если ∠MAP = 32°, то ∠BCP = 32°.
• Условие ∠BCM = 32°.
• Если ∠MAP = 32°, ∠APM = 38°, то ∠AMP = 180° - 32° - 38° = 110°.

Ответ: 110°