91. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Правая часть условия на фотографии обрезана, но видны оба требуемых свойства.

а) Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), а боковые стороны \(AB=CD\). Проведём из вершин B и C перпендикуляры к основанию AD. Получившиеся прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы \(AB=CD\) и равные катеты, так как основания параллельны. Следовательно, треугольники равны, поэтому \(\angle A=\angle D\) и \(\angle B=\angle C\).

б) Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них \(AB=CD\) по условию, \(AD\) — общая сторона, а \(\angle BAD=\angle CDA\) по доказанному свойству. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие диагонали равны: \(BD=AC\).