92. Упростите выражения: 1) \(\left(\frac{a+1}{2a-1}+\frac{6}{2a^2-2}-\frac{a+3}{2a+2}\right):\frac{4a^2-4}{3}\); 2) \(\left(\frac{b}{a^2+ab}+\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}\); 3) \(\frac{a^2-c^2}{a+b}\cdot\frac{a^2-b^2}{ac+c^2}\cdot\left(a+\frac{ac}{a-c}\right)\); 4) \(\frac{c^2-ac}{a^2-b^2}\cdot\frac{a-b}{c^2-a^2}:\left(c-\frac{ac}{a-c}\right)\).

Так как \(2a^2-2=2(a-1)(a+1)\), \(2a+2=2(a+1)\), получаем

\[\frac{a+1}{2a-1}+\frac{3}{(a-1)(a+1)}-\frac{a+3}{2(a+1)}.\]

Приводим к общему знаменателю \(2(2a-1)(a-1)(a+1)\). Числитель равен

\[2(a+1)^2(a-1)+6(2a-1)-(a+3)(2a-1)(a-1)=a^3+7a^2-3a-5.\]

Значит, исходное выражение равно

\[\frac{3(a^3+7a^2-3a-5)}{2(2a-1)(a-1)(a+1)}:\frac{4(a-1)(a+1)}{3}=\frac{9(a^3+7a^2-3a-5)}{8(2a-1)(a-1)^2(a+1)^2}.\]

Ответ: \(\frac{9(a^3+7a^2-3a-5)}{8(2a-1)(a-1)^2(a+1)^2}\).

В первом скобочном выражении общий знаменатель равен \(ab(a+b)(a^2+b^2)\). Числитель:

\[b^2(a+b)(a^2+b^2)+2ab(a+b)^2+a^2(a+b)(a^2+b^2)=(a+b)^2(a^2+b^2+2ab).\]

Следовательно, сумма равна \(\frac{(a+b)(a^2+b^2+2ab)}{ab(a^2+b^2)}\). Учитывая \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), делим на дробь:

\[\frac{(a+b)(a^2+b^2+2ab)}{ab(a^2+b^2)}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4(a^2+b^2+2ab)}{(a-b)(a^2+b^2)}.\]

Ответ: \(\frac{4(a^2+b^2+2ab)}{(a-b)(a^2+b^2)}\).

Разложим на множители: \(a^2-c^2=(a-c)(a+c)\), \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(ac+c^2=c(a+c)\), а \(a+\frac{ac}{a-c}=\frac{a(a-c)+ac}{a-c}=\frac{a^2}{a-c}\). Тогда

\[\frac{(a-c)(a+c)}{a+b}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{c(a+c)}\cdot\frac{a^2}{a-c}=\frac{a^2(a-b)}{c}.\]

Ответ: \(\frac{a^2(a-b)}{c}\).

Преобразуем множители: \(c^2-ac=c(c-a)\), \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(c^2-a^2=(c-a)(c+a)\), а

\[c-\frac{ac}{a-c}=\frac{c(a-c)-ac}{a-c}=-\frac{c^2}{a-c}=\frac{c^2}{c-a}.\]

Тогда произведение первых двух дробей равно \(\frac{c}{(a+b)(c+a)}\). Делим на третью дробь:

\[\frac{c}{(a+b)(c+a)}\cdot\frac{c-a}{c^2}=\frac{c-a}{c(a+b)(a+c)}.\]

Ответ: \(\frac{c-a}{c(a+b)(a+c)}\).