98. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Так как AB = A₁B₁, AP = A₁P₁, а P и P₁ лежат соответственно на сторонах AB и A₁B₁, то BP = AB − AP = A₁B₁ − A₁P₁ = B₁P₁.

Треугольники APC и A₁P₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: AP = A₁P₁, AC = A₁C₁, а ∠PAC = ∠P₁A₁C₁, поскольку это углы A и A₁. Поэтому PC = P₁C₁.

Кроме того, из равенства этих треугольников следует ∠APC = ∠A₁P₁C₁. Лучи PA и PB противоположны, как и P₁A₁ и P₁B₁, поэтому смежные с этими углами углы BPC и B₁P₁C₁ равны.

Таким образом, BP = B₁P₁, PC = P₁C₁ и ∠BPC = ∠B₁P₁C₁. Следовательно, △BPC = △B₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.