Решение варианта 1

1. Выполните действия:

a) $$a^2 \cdot a^{13} = a^{2+13} = a^{15}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

б) $$a^{18} : a^6 = a^{18-6} = a^{12}$$

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

в) $$(a^7)^4 = a^{7\cdot4} = a^{28}$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

г) $$(2a)^5 = 2^5 \cdot a^5 = 32a^5$$

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень.

2. Вычислите:

а) $$(2^3)^2 \cdot 2^7 = 2^{3\cdot2} \cdot 2^7 = 2^6 \cdot 2^7 = 2^{6+7} = 2^{13} = 8192$$

Сначала возводим степень в степень, затем умножаем степени с одинаковым основанием.

б) $$\frac{33}{4} : \frac{8}{3} : \frac{11}{6} = \frac{33}{4} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{6}{11} = \frac{33 \cdot 3 \cdot 6}{4 \cdot 8 \cdot 11} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 6}{4 \cdot 8} = \frac{54}{32} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

При делении дробей мы заменяем деление умножением на перевернутую дробь.

в) $$6,8 - 3,5 + 2,5 = 3,3 + 2,5 = 5,8$$

Выполняем вычитание, затем сложение.

г) $$\frac{-1,9 + 7,3}{2,4} = \frac{5,4}{2,4} = \frac{54}{24} = \frac{9}{4} = 2,25$$

Сначала выполняем сложение в числителе, затем деление.

3. Задача про бригаду:

Пусть x - количество рабочих, необходимых для выполнения задания за 10 дней. Используем обратную пропорциональность (чем меньше дней, тем больше рабочих):

$$\frac{8}{x} = \frac{10}{15}$$

$$10x = 8 \cdot 15$$

$$10x = 120$$

$$x = \frac{120}{10} = 12$$

Ответ: 12 рабочих

4. Задача про холодильник:

Скидка составляет 35% от первоначальной цены. Найдем сумму скидки:

$$16000 \cdot 0,35 = 5600$$

Ответ: 5600 рублей

5. Площадь фигуры:

Фигура состоит из большого прямоугольника и вырезанного из него маленького прямоугольника. Найдем площадь большого прямоугольника:

$$S_{большой} = 90 \cdot 60 = 5400 мм^2$$

Найдем площадь маленького прямоугольника:

$$S_{маленький} = 30 \cdot 20 = 600 мм^2$$

Найдем площадь фигуры, вычитая из площади большого прямоугольника площадь маленького:

$$S = S_{большой} - S_{маленький} = 5400 - 600 = 4800 мм^2$$

Ответ: 4800 мм^2