а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм. 490 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре- угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён- ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря- моугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

Рассмотрим задачу 490:

а) Дано: равнобедренный треугольник, основание 12 см, высота, проведённая к основанию, 8 см.

Найти: боковую сторону, площадь.

Решение:

1. Высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является медианой. Значит, она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см (половина основания).
2. По теореме Пифагора найдём боковую сторону (гипотенузу): $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a = 8$$ см, $$b = 6$$ см. $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ см.
3. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - основание, $$h$$ - высота. $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$ кв. см.

Ответ: боковая сторона 10 см, площадь 48 кв. см.

б) Дано: равнобедренный треугольник, основание 18 см, угол, противолежащий основанию, равен 120°.

Найти: боковую сторону, площадь.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника 180°. Углы при основании равны: $$\frac{180° - 120°}{2} = 30°$$.
2. Проведём высоту к основанию. Она делит угол 120° пополам, а основание на две равные части. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной.
3. Половина основания равна 9 см. Обозначим боковую сторону за $$x$$. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Т.е. высота равна $$\frac{1}{2}x$$.
4. По теореме Пифагора: $$(9)^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = x^2$$. $$81 + \frac{1}{4}x^2 = x^2$$. $$\frac{3}{4}x^2 = 81$$. $$x^2 = 81 \cdot \frac{4}{3} = 27 \cdot 4 = 108$$. $$x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$ см.
5. Высота равна: $$\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$ см.
6. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$$ кв. см.

Ответ: боковая сторона $$6\sqrt{3}$$ см, площадь $$27\sqrt{3}$$ кв. см.

в) Дано: прямоугольный треугольник, высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

Недостаточно данных для однозначного определения боковой стороны и площади. Предположим, что дан ещё и острый угол, тогда можно вычислить катеты и гипотенузу, а затем и площадь. Но без дополнительной информации решение невозможно.

Ответ: недостаточно данных.