А15. а) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. б) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 31°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Решение задачи А15: а) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Из вершины C проведены высота CH и биссектриса CL. Угол между ними, по условию, равен 18°. Нам нужно найти меньший угол прямоугольного треугольника ABC. Обозначим угол между высотой CH и катетом AC как \(\alpha\). Тогда угол между биссектрисой CL и катетом AC равен \(\alpha + 18^\circ\). Так как CL - биссектриса, то угол \(ACL = \angle BCL = 45^\circ\). Следовательно, \(\alpha + 18^\circ = 45^\circ\). Отсюда находим \(\alpha = 45^\circ - 18^\circ = 27^\circ\). Угол A равен углу между высотой CH и катетом AC, то есть \(\angle A = 27^\circ\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то угол B равен: \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ\). Меньший угол в прямоугольном треугольнике ABC - это угол A, равный 27°. Ответ: 27° б) Аналогично предыдущему случаю, пусть угол между высотой CH и биссектрисой CL равен 31°. Обозначим угол между высотой CH и катетом AC как \(\alpha\). Тогда угол между биссектрисой CL и катетом AC равен \(\alpha + 31^\circ\). Так как CL - биссектриса, то угол \(ACL = \angle BCL = 45^\circ\). Следовательно, \(\alpha + 31^\circ = 45^\circ\). Отсюда находим \(\alpha = 45^\circ - 31^\circ = 14^\circ\). Угол A равен углу между высотой CH и катетом AC, то есть \(\angle A = 14^\circ\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то угол B равен: \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ\). Меньший угол в прямоугольном треугольнике ABC - это угол A, равный 14°. Ответ: 14°