1)A(-2;4), B(4;-2), C(-8;-14), D(6;8) Найти: а) координаты векторов AB,CD б) длину вектора BC в) координаты точки М – середины АВ координаты точки N – середины CD г) MN; AD д) уравнение окружности с диаметром ВС е) уравнение прямой BD

а) Координаты векторов AB и CD:

Координаты вектора AB находятся как разность координат конца и начала вектора: $$AB = (x_B - x_A; y_B - y_A)$$.

$$AB = (4 - (-2); -2 - 4) = (6; -6)$$.

Аналогично для вектора CD: $$CD = (x_D - x_C; y_D - y_C)$$.

$$CD = (6 - (-8); 8 - (-14)) = (14; 22)$$.

б) Длина вектора BC:

Длина вектора BC находится по формуле: $$|BC| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$$.

$$BC = (-8 - 4; -14 - (-2)) = (-12; -12)$$.

$$|BC| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$.

в) Координаты точки M - середины AB:

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов отрезка: $$M = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2})$$.

$$M = (\frac{-2 + 4}{2}; \frac{4 + (-2)}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{2}{2}) = (1; 1)$$.

Координаты точки N - середины CD:

$$N = (\frac{x_C + x_D}{2}; \frac{y_C + y_D}{2})$$.

$$N = (\frac{-8 + 6}{2}; \frac{-14 + 8}{2}) = (\frac{-2}{2}; \frac{-6}{2}) = (-1; -3)$$.

г) MN и AD:

Координаты вектора MN: $$MN = (x_N - x_M; y_N - y_M)$$.

$$MN = (-1 - 1; -3 - 1) = (-2; -4)$$.

Координаты вектора AD: $$AD = (x_D - x_A; y_D - y_A)$$.

$$AD = (6 - (-2); 8 - 4) = (8; 4)$$.

д) Уравнение окружности с диаметром BC:

Найдем координаты центра O окружности как середину отрезка BC: $$O = (\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2})$$.

$$O = (\frac{4 + (-8)}{2}; \frac{-2 + (-14)}{2}) = (\frac{-4}{2}; \frac{-16}{2}) = (-2; -8)$$.

Найдем радиус R окружности как половину длины BC, то есть $$R = \frac{|BC|}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$.

Уравнение окружности имеет вид: $$(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = R^2$$.

Подставим координаты центра и радиус: $$(x - (-2))^2 + (y - (-8))^2 = (6\sqrt{2})^2$$.

$$(x + 2)^2 + (y + 8)^2 = 72$$.

е) Уравнение прямой BD:

Координаты точек B(4;-2) и D(6;8).

Уравнение прямой имеет вид $$y = kx + b$$.

Подставим координаты точек B и D в уравнение прямой:

-2 = 4k + b

8 = 6k + b

Вычтем первое уравнение из второго: 10 = 2k, следовательно, k = 5.

Подставим k = 5 в первое уравнение: -2 = 4(5) + b, следовательно, b = -22.

Уравнение прямой BD: $$y = 5x - 22$$.

В общем виде: $$5x - y - 22 = 0$$.

Ответ: а) AB(6;-6), CD(14;22); б) $$12\sqrt{2}$$; в) M(1;1), N(-1;-3); г) MN(-2;-4), AD(8;4); д) $$(x + 2)^2 + (y + 8)^2 = 72$$; е) $$5x - y - 22 = 0$$.