а) Докажите тождество: $$\left(\frac{n+3}{3n-1}+\frac{n+3}{n+1}\right) \cdot \frac{3n-1}{n^2+3n} = \frac{4}{n+1}.$$

a) Доказательство тождества:

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{n+3}{3n-1}+\frac{n+3}{n+1} = \frac{(n+3)(n+1)+(n+3)(3n-1)}{(3n-1)(n+1)} = \frac{(n+3)(n+1+3n-1)}{(3n-1)(n+1)} = \frac{(n+3)(4n)}{(3n-1)(n+1)}.$$
2. Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$\left(\frac{(n+3)(4n)}{(3n-1)(n+1)}\right) \cdot \frac{3n-1}{n^2+3n} = \frac{4}{n+1}.$$
3. Упростим выражение: $$\frac{(n+3)(4n)(3n-1)}{(3n-1)(n+1)(n^2+3n)} = \frac{4}{n+1}.$$
4. Заметим, что $$n^2 + 3n = n(n+3)$$. Подставим это в выражение: $$\frac{(n+3)(4n)(3n-1)}{(3n-1)(n+1)n(n+3)} = \frac{4}{n+1}.$$
5. Сократим $$(n+3)$$, $$n$$ и $$(3n-1)$$ в числителе и знаменателе: $$\frac{4}{n+1} = \frac{4}{n+1}.$$
6. Получили верное равенство, что и требовалось доказать.

Вывод: Тождество справедливо.