a) f(x) = x^4 - 8x^2 - 9, [0; 3]

Привет! Давай разбираться с этим заданием.

Анализ функции:

• Функция: $$f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$$
• Интервал: $$[0; 3]$$

Чтобы найти экстремумы на заданном интервале, нам нужно:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки.
3. Проверить значения функции в критических точках, попавших в интервал, и на концах интервала.

Шаг 1: Находим производную

Производная от $$x^4$$ это $$4x^3$$.

Производная от $$-8x^2$$ это $$-16x$$.

Производная от $$-9$$ это $$0$$.

Итак, производная $$f'(x)$$ будет:

\[ f'(x) = 4x^3 - 16x \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

\[ 4x^3 - 16x = 0 \]

Выносим общий множитель $$4x$$:

\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. $$4x = 0 \rightarrow x_1 = 0$$
2. $$x^2 - 4 = 0 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x_2 = 2, x_3 = -2$$

Шаг 3: Проверяем точки на интервале [0; 3]

Критические точки, которые попадают в наш интервал $$[0; 3]$$:

• $$x_1 = 0$$
• $$x_2 = 2$$

Также нужно проверить значения на концах интервала:

• Правый конец интервала: $$x=3$$

Шаг 4: Вычисляем значения функции в этих точках

• При $$x=0$$:

\[ f(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9 \]

• При $$x=2$$:

\[ f(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 8(4) - 9 = 16 - 32 - 9 = -16 - 9 = -25 \]

• При $$x=3$$:

\[ f(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 8(9) - 9 = 81 - 72 - 9 = 9 - 9 = 0 \]

Вывод:

Сравниваем полученные значения:

• $$f(0) = -9$$
• $$f(2) = -25$$
• $$f(3) = 0$$

Таким образом:

• Наименьшее значение функции на интервале $$[0; 3]$$ равно $$-25$$ (достигается при $$x=2$$).
• Наибольшее значение функции на интервале $$[0; 3]$$ равно $$0$$ (достигается при $$x=3$$).

Ответ: Наименьшее значение $$f(x)=-25$$, наибольшее значение $$f(x)=0$$.