б) f(x)=3x^5-5x^3, [2;3]

Привет! Давай разберем эту функцию.

Анализ функции:

• Функция: $$f(x) = 3x^5 - 5x^3$$
• Интервал: $$[2; 3]$$

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на заданном отрезке.

Шаг 1: Находим производную

Производная от $$3x^5$$ это $$15x^4$$.

Производная от $$-5x^3$$ это $$-15x^2$$.

Итак, производная $$f'(x)$$ будет:

\[ f'(x) = 15x^4 - 15x^2 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

\[ 15x^4 - 15x^2 = 0 \]

Выносим общий множитель $$15x^2$$:

\[ 15x^2(x^2 - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. $$15x^2 = 0 \rightarrow x^2 = 0 \rightarrow x_1 = 0$$
2. $$x^2 - 1 = 0 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x_2 = 1, x_3 = -1$$

Шаг 3: Проверяем точки на интервале [2; 3]

Критические точки, которые мы нашли: $$0, 1, -1$$. Ни одна из этих точек не попадает в наш интервал $$[2; 3]$$.

Это значит, что функция на данном интервале либо всегда возрастает, либо всегда убывает. Экстремумов внутри интервала нет.

Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах интервала

Нам нужно проверить только значения на концах интервала:

• При $$x=2$$:

\[ f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 3(32) - 5(8) = 96 - 40 = 56 \]

• При $$x=3$$:

\[ f(3) = 3(3)^5 - 5(3)^3 = 3(243) - 5(27) = 729 - 135 = 594 \]

Вывод:

Сравниваем полученные значения:

• $$f(2) = 56$$
• $$f(3) = 594$$

Таким образом:

• Наименьшее значение функции на интервале $$[2; 3]$$ равно $$56$$ (достигается при $$x=2$$).
• Наибольшее значение функции на интервале $$[2; 3]$$ равно $$594$$ (достигается при $$x=3$$).

Ответ: Наименьшее значение $$f(x)=56$$, наибольшее значение $$f(x)=594$$.