А10. Хорда АВ равна 38 см. ОА и ОВ – радиусы окружности, причем угол АОВ равен 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ. 1) 30,5 см 2) 26 см 3) 19 см 4) 12 см

Пусть О - центр окружности, АВ - хорда, ОА и ОВ - радиусы, ∠AOB = 90°. Расстояние от точки О до хорды АВ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки О на хорду АВ. Обозначим точку пересечения перпендикуляра и хорды АВ как точку Н. Тогда ОН - искомое расстояние.

Так как ОА и ОВ - радиусы, а угол АОВ прямой, треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный (ОА = ОВ). Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является также медианой. Значит, точка H - середина AB, и AH = HB = AB/2.

$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{38}{2} = 19 \text{ см}$$

В прямоугольном треугольнике AOB, OH является медианой, проведенной к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, OH = AB/2.

$$OH = \frac{AB}{2} = \frac{38}{2} = 19 \text{ см}$$

Правильный ответ: 3