В задании необходимо вставить в пропуски will, won't или shall.
Рассмотрим предложение:
A: I want to tell you a secret. (Я хочу рассказать тебе секрет.) B: OK, I promise I ... tell anyone. (Хорошо, я обещаю, что я ... никому не расскажу.)
В данном предложении B обещает никому не рассказывать секрет, следовательно, необходимо использовать won't (will not).
OK, I promise I won't tell anyone. (Хорошо, я обещаю, что я никому не расскажу.)
Ответ: OK, I promise I won't tell anyone.