290. а) Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал нервую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобиля на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч.

Пусть S - расстояние от A до B, v - скорость первого автомобиля. Тогда S/v - время в пути первого автомобиля.

Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью v - 9, вторую половину пути со скоростью 84.

Время в пути второго автомобиля: $$ \frac{S}{2(v - 9)} + \frac{S}{2 \cdot 84}$$.

$$\frac{S}{2(v - 9)} + \frac{S}{168} = \frac{S}{v}$$

$$\frac{1}{2(v - 9)} + \frac{1}{168} = \frac{1}{v}$$

$$\frac{1}{2(v - 9)} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{168}$$

$$\frac{v - 2(v - 9)}{2(v - 9)v} = - \frac{1}{168}$$

$$\frac{v - 2v + 18}{2(v - 9)v} = - \frac{1}{168}$$

$$\frac{-v + 18}{2(v - 9)v} = - \frac{1}{168}$$

$$168(-v + 18) = -2v(v - 9)$$

$$-168v + 3024 = -2v^2 + 18v$$

$$2v^2 - 18v - 168v + 3024 = 0$$

$$2v^2 - 186v + 3024 = 0$$

$$v^2 - 93v + 1512 = 0$$

$$D = 93^2 - 4 \cdot 1512 = 8649 - 6048 = 2601$$

$$\sqrt{D} = 51$$

$$v_1 = \frac{93 + 51}{2} = \frac{144}{2} = 72 \text{ км/ч}$$

$$v_2 = \frac{93 - 51}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Ответ: 72 км/ч