а) Какой путь проходит конец минутной стрелки часов за 25 мин в зависимости от вида циферблата (длина стрелки одна и та же)? б) Какой путь описывает конец часовой стрелки обычных часов за 3 ч 30 мин? Решите задачу для обычных часов и часов с 24-часовой шкалой, если длина минутной стрелки r, а часовой - R.

Решение:

а) И для обычных часов, и для часов с 24-часовой шкалой минутная стрелка за 25 мин пройдет путь.

За 25 минут минутная стрелка повернется на угол:

$$ \alpha = 360 : 60 \cdot 25 = 150 $$

Длина дуги, которую пройдет конец минутной стрелки, будет равна:

$$ l = \frac{\pi r \alpha}{180} = \frac{\pi r \cdot 150}{180} = \frac{5}{6} \pi r $$

Ответ: Конец минутной стрелки за 25 минут пройдет путь длиной $$ \frac{5}{6} \pi r $$.

б) Рассмотрим обычные часы (12-часовая шкала).

За 3 часа 30 минут часовая стрелка пройдет:

3 часа 30 минут = 3,5 часа

Полный оборот часовая стрелка совершает за 12 часов, значит, за 1 час она проходит:

$$ \frac{360}{12} = 30 $$ градусов

За 3,5 часа часовая стрелка пройдет:

$$ 30 \cdot 3,5 = 105 $$ градусов

Длина дуги, которую опишет конец часовой стрелки, равна:

$$ l = \frac{\pi R \alpha}{180} = \frac{\pi R \cdot 105}{180} = \frac{7}{12} \pi R $$

Рассмотрим часы с 24-часовой шкалой.

Полный оборот часовая стрелка совершает за 24 часа, значит, за 1 час она проходит:

$$ \frac{360}{24} = 15 $$ градусов

За 3,5 часа часовая стрелка пройдет:

$$ 15 \cdot 3,5 = 52,5 $$ градусов

Длина дуги, которую опишет конец часовой стрелки, равна:

$$ l = \frac{\pi R \alpha}{180} = \frac{\pi R \cdot 52,5}{180} = \frac{7}{24} \pi R $$

Ответ: В обычных часах конец часовой стрелки за 3 часа 30 минут опишет путь длиной $$ \frac{7}{12} \pi R $$, в часах с 24-часовой шкалой - $$ \frac{7}{24} \pi R $$.