А-10 к.р. Триг. формулы. Вариант 1. 1. Вычислите: a) sin 300°; б) tg (−2π/3); в) 2sin(π/3) − cos(π/2). 2.Найдите sin α и tg α, если известно, что cos α = -0,6, π/2 < α < π. 3.Упростите выражение: a) sin(π + α) + cos(3π/2 - α); б) tg (π/2 + α) - ctg (2π – α); в) cos 2α + 2 sin²(π – α) г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α). 4. Докажите тождество: cos² α (1 + tg² α) - sin² α = cos² α. 5. Решите уравнение: cos 5x cos 3x = 1 - sin 5x sin 3x

Привет, ребята! Давайте разберем этот вариант контрольной работы по тригонометрии. 1. Вычислите: а) sin 300°: 300° находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. 300° = 360° - 60°, поэтому sin 300° = -sin 60°. $$sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$sin 300° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ б) tg (−2π/3): $$\tg(-\frac{2\pi}{3}) = -\tg(\frac{2\pi}{3})$$ $$\frac{2\pi}{3}$$ это 120°. 120° находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. 120° = 180° - 60°, поэтому tg 120° = -tg 60°. $$\tg 60° = \sqrt{3}$$ $$\tg 120° = -\sqrt{3}$$ $$\tg(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$$ в) 2sin(π/3) − cos(π/2): $$2\sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \sqrt{3}$$ 2. Найдите sin α и tg α, если известно, что cos α = -0,6, π/2 < α < π. Так как $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, угол α находится во второй четверти, где синус положителен, а тангенс отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 α + cos^2 α = 1$$ $$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$$ $$sin α = \sqrt{0.64} = 0.8$$ (так как синус положителен во второй четверти) Теперь найдем тангенс: $$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}$$ 3. Упростите выражение: а) sin(π + α) + cos(3π/2 - α): $$sin(π + α) = -sin α$$ $$cos(\frac{3\pi}{2} - α) = -sin α$$ $$-sin α + (-sin α) = -2sin α$$ б) tg (π/2 + α) - ctg (2π – α): $$\tg(\frac{\pi}{2} + α) = -ctg α$$ $$ctg(2π - α) = -ctg α$$ $$-ctg α - (-ctg α) = -ctg α + ctg α = 0$$ в) cos 2α + 2 sin²(π – α): $$cos 2α = cos^2 α - sin^2 α$$ $$sin(π - α) = sin α$$ $$cos^2 α - sin^2 α + 2sin^2 α = cos^2 α + sin^2 α = 1$$ г) sin α / (1+cos α) + sin α / (1-cos α): $$\frac{sin α}{1 + cos α} + \frac{sin α}{1 - cos α} = \frac{sin α(1 - cos α) + sin α(1 + cos α)}{(1 + cos α)(1 - cos α)} = \frac{sin α - sin α cos α + sin α + sin α cos α}{1 - cos^2 α} = \frac{2sin α}{sin^2 α} = \frac{2}{sin α}$$ 4. Докажите тождество: cos² α (1 + tg² α) - sin² α = cos² α. $$cos^2 α (1 + tg^2 α) - sin^2 α = cos^2 α (1 + \frac{sin^2 α}{cos^2 α}) - sin^2 α = cos^2 α + sin^2 α - sin^2 α = cos^2 α$$ Тождество доказано. 5. Решите уравнение: cos 5x cos 3x = 1 - sin 5x sin 3x $$cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x = 1$$ $$cos(5x - 3x) = 1$$ $$cos(2x) = 1$$ $$2x = 2πn, n ∈ Z$$ $$x = πn, n ∈ Z$$ Ответы: 1. a) $$sin 300° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ б) $$\tg(-\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3}$$ в) $$2\sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3}$$ 2. $$sin α = 0.8$$, $$\tg α = -\frac{4}{3}$$ 3. a) $$-2sin α$$ б) $$0$$ в) $$1$$ г) $$\frac{2}{sin α}$$ 4. Тождество доказано. 5. $$x = πn, n ∈ Z$$