288 а) На швейной фабрике все мастера работают с одинаковой производительнос- тью. Пять стажеров и два мастера выполняют за 8 часов тот же объем работы, что семь стажеров и пять мастеров за 4 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех ста- жеров одинаковая? б) Ванна наполняется из двух кранов. Один из них с горячей, а второй с холодной водой. Из горячего крана ванна наполняется за 48 минут, а из холодного – за 30 минут. Сначала открыли кран с горячей водой. Через сколько времени надо открыть кран с холодной водой, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды в ней было в 1,5 раза больше, чем холодной? в) Для наполнения бассейна сначала включили первый насос, который каждую минуту закачивает в бассейн 40 л 0,1%-го раствора хлорированной воды, а через 45 минут заработал второй насос, закачивающий в минуту 60 л 0,2%-го раство- ра хлорированной воды. Через сколько времени после открытия второго насоса концентрация хлора в бассейне достигнет 0,15%? (Считать, что объем бассейна позволяет достичь нужной концентрации хлора.)

а) Пусть x - производительность стажера, y - производительность мастера. Тогда: $$8(5x + 2y) = 4(7x + 5y)$$ $$40x + 16y = 28x + 20y$$ $$12x = 4y$$ $$y = 3x$$ Значит, производительность мастера в 3 раза больше производительности стажера.

Ответ: в 3 раза

б) Пусть V - объем ванны. Тогда производительность горячего крана $$V/48$$ в минуту, а холодного - $$V/30$$ в минуту. Пусть t - время, через которое надо открыть кран с холодной водой. Тогда: $$\frac{V}{48}(t + x) + \frac{V}{30}x = 1.5 \frac{V}{48}(t + x)$$ $$\frac{V}{48}t + \frac{V}{48}x + \frac{V}{30}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{V}{48}t + \frac{3}{2} \cdot \frac{V}{48}x$$ $$\frac{1}{48}t + \frac{1}{48}x + \frac{1}{30}x = \frac{3}{96}t + \frac{3}{96}x$$ $$\frac{1}{48}t + \frac{1}{48}x + \frac{1}{30}x = \frac{1}{32}t + \frac{1}{32}x$$ $$\frac{1}{30}x - \frac{1}{32}x = \frac{1}{32}t - \frac{1}{48}t$$ $$\frac{16}{480}x - \frac{15}{480}x = \frac{3}{96}t - \frac{2}{96}t$$ $$\frac{1}{480}x = \frac{1}{96}t$$ $$t = \frac{96}{480}x = \frac{1}{5}x$$ Пусть ванна наполнилась к моменту времени T. Тогда: $$\frac{V}{48}T + \frac{V}{30}(T-t) = V$$ $$\frac{1}{48}T + \frac{1}{30}T - \frac{1}{30}t = 1$$ $$\frac{5}{240}T + \frac{8}{240}T - \frac{1}{30}t = 1$$ $$\frac{13}{240}T - \frac{1}{30}t = 1$$ $$\frac{13}{240}T - \frac{1}{30} \cdot \frac{1}{5}x = 1$$ $$\frac{V}{48}T = 1.5 \frac{V}{48}T + V_x$$ $$\frac{V}{48}x + \frac{V}{30}x = V_x$$ $$\frac{1}{48}T = 18$$

Ответ:

в) Пусть t - время после открытия второго насоса. Тогда общее количество воды в бассейне будет равно: $$40(45+t) + 60t = 1800 + 40t + 60t = 1800 + 100t$$ литров. Количество хлора в бассейне будет равно: $$40(45+t) \cdot 0.001 + 60t \cdot 0.002 = 1.8 + 0.04t + 0.12t = 1.8 + 0.16t$$ Тогда концентрация хлора в бассейне будет: $$\frac{1.8 + 0.16t}{1800 + 100t} = 0.0015$$ $$1.8 + 0.16t = 0.0015(1800 + 100t)$$ $$1.8 + 0.16t = 2.7 + 0.15t$$ $$0.01t = 0.9$$ $$t = 90$$ минут.

Ответ: 90 минут