А10. Наименьший положительный корень уравнения $$4 \sin 0{,}2x \cos 0{,}2x = \sqrt{3}$$ равен. Выберите один из предложенных вариантов: 1) 90°; 2) 120°; 3) 75°; 4) 135°; 5) 150°.

Для решения данного уравнения, сначала упростим его, используя тригонометрическую формулу двойного угла для синуса: $$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$$.

В нашем случае, $$4 \sin(0{,}2x) \cos(0{,}2x) = 2 \cdot 2 \sin(0{,}2x) \cos(0{,}2x) = 2 \sin(0{,}4x)$$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$2 \sin(0{,}4x) = \sqrt{3}$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin(0{,}4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь нужно найти, при каком значении угла синус равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Мы знаем, что $$\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Тогда:

$$0{,}4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ или $$0{,}4x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Рассмотрим первый случай:

$$0{,}4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

Умножим обе части на 2,5 (так как $$0{,}4 = \frac{2}{5}$$):

$$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{5}{2} \cdot 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 5\pi k$$

В градусах это будет: $$x = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} + 5 \cdot 180^\circ k = 150^\circ + 900^\circ k$$

Рассмотрим второй случай:

$$0{,}4x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$

Умножим обе части на 2,5:

$$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{5}{2} \cdot 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 5\pi k$$

В градусах это будет: $$x = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} + 900^\circ k = 300^\circ + 900^\circ k$$

Теперь найдем наименьший положительный корень. При $$k = 0$$ в первом случае $$x = 150^\circ$$, а во втором случае $$x = 300^\circ$$. Наименьший из них - это 150°.

Ответ: 5) 150°