а) Найдите координаты точек пересечения этой окружности с осями координат.

Решение:

Уравнение окружности: \( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \).

Пересечение с осью Oy (x = 0):

Подставим \( x = 0 \) в уравнение окружности:

\[ (0 - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \]\[ (-3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \]\[ 9 + (y + 4)^2 = 25 \]\[ (y + 4)^2 = 25 - 9 \]\[ (y + 4)^2 = 16 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ y + 4 = ±4 \]

Находим два значения \( y \):

1) \( y + 4 = 4 \) → \( y = 4 - 4 = 0 \). Точка пересечения: \( (0; 0) \).

2) \( y + 4 = -4 \) → \( y = -4 - 4 = -8 \). Точка пересечения: \( (0; -8) \).

Пересечение с осью Ox (y = 0):

Подставим \( y = 0 \) в уравнение окружности:

\[ (x - 3)^2 + (0 + 4)^2 = 25 \]\[ (x - 3)^2 + 4^2 = 25 \]\[ (x - 3)^2 + 16 = 25 \]\[ (x - 3)^2 = 25 - 16 \]\[ (x - 3)^2 = 9 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x - 3 = ±3 \]

Находим два значения \( x \):

1) \( x - 3 = 3 \) → \( x = 3 + 3 = 6 \). Точка пересечения: \( (6; 0) \).

2) \( x - 3 = -3 \) → \( x = 3 - 3 = 0 \). Точка пересечения: \( (0; 0) \).

Ответ: Точки пересечения с осями координат: \( (0; 0) \), \( (0; -8) \) и \( (6; 0) \).