б) Найдите координаты точки А, лежащей на окружности и наиболее удаленной от начала координат.

Решение:

Начало координат — точка \( O(0; 0) \).

Расстояние от точки \( (x; y) \) до начала координат вычисляется по формуле:

\[ d = √(x^2 + y^2) \]

Чтобы найти точку на окружности \( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \), которая наиболее удалена от начала координат, нужно найти точку, лежащую на прямой, проходящей через центр окружности \( C(3; -4) \) и начало координат \( O(0; 0) \), и находящуюся на противоположном от начала координат конце отрезка, диаметрально проходящего через центр окружности.

Найдём расстояние от центра окружности \( C(3; -4) \) до начала координат \( O(0; 0) \):

\[ d_{CO} = √((3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √(25) = 5 \]

Точка \( A \), наиболее удаленная от начала координат, будет находиться на прямой, соединяющей \( O(0; 0) \) и \( C(3; -4) \), на расстоянии \( d_{CO} + r \) от начала координат, где \( r = 5 \) — радиус окружности.

Общее расстояние будет \( 5 + 5 = 10 \).

Вектор от начала координат к центру окружности \( v = (3; -4) \).

Координаты точки \( A \) находятся по формуле:

\[ A = C + v · \frac{r}{d_{CO}} \]\[ A = (3; -4) + (3; -4) · \frac{5}{5} \]\[ A = (3; -4) + (3; -4) \]\[ A = (3+3; -4-4) \]\[ A = (6; -8) \]

Проверим, лежит ли точка \( (6; -8) \) на окружности:

\[ (6 - 3)^2 + (-8 + 4)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \]

Точка \( (6; -8) \) лежит на окружности.

Расстояние от \( (6; -8) \) до начала координат:

\[ d_{OA} = √(6^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √(100) = 10 \]

Ответ: Координаты точки А: \( (6; -8) \).