Решение задачи

а)

Дано: угол с вершиной S, точки A и M на одной стороне угла, точки B и N на другой стороне угла, SA = a, SB = b, AM = m, BN = n, a/b = m/n.

Доказать: прямые AB и MN параллельны.

Решение:

По условию, $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$. Это можно переписать как $$\frac{SA}{SB} = \frac{AM}{BN}$$.

Также мы знаем, что $$\frac{SA}{SB} = \frac{SA}{SA+AB} = \frac{a}{b}$$. Из условия задачи известно, что $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$, следовательно, $$\frac{SA}{SB} = \frac{SM}{SN}$$.

Рассмотрим треугольники SAB и SMN. У них общий угол S, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны ($$\frac{SA}{SM} = \frac{SB}{SN}$$). Следовательно, треугольники SAB и SMN подобны по второму признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует равенство углов: ∠SAB = ∠SMN и ∠SBA = ∠SNM.

Поскольку углы SAB и SMN являются соответственными при прямых AB и MN и секущей SA, а углы SBA и SNM являются соответственными при прямых AB и MN и секущей SB, то из равенства этих углов следует, что прямые AB и MN параллельны (по признаку параллельности прямых по соответственным углам).

Ответ: Да, прямые AB и MN параллельны.

б)

Дано: треугольник ABC, AB = 7, AC = 3, BC = 5, точка K на продолжении стороны BC за точку C, ∠KAC = ∠ABC.

Найти: KC.

Решение:

Обозначим отрезок KC через x. Тогда BK = BC + CK = 5 + x.

Рассмотрим треугольники ABC и KAC. По условию, ∠ABC = ∠KAC. Угол C - общий.

Следовательно, треугольники ABC и KAC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$\frac{AC}{BC} = \frac{KC}{AC}$$.

Подставляем известные значения: $$\frac{3}{5} = \frac{x}{3}$$.

Решаем уравнение: $$x = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$$.

Ответ: KC = 1.8.