A4. Прямая AB касается окружности. 5 см. Известно, что AO = OB = 13 см. Чему равна длина AB? 1) 24 см 2) 12 см 3) 26 см 4) 10 см B1. Стороны AB, BC и AC треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках M, K и P соответственно так, что BM = 5 см, PC = 7 см, а периметр треугольника ABC равен 32 см. Найдите длину стороны AC. B2. AB и BC - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 6 см. Найдите периметр четырехугольника ABCO, если угол ABC равен 60°. C1. Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке E. Найдите CE, если радиус окружности равен 6 см.

Решение A4: Треугольник AOB равнобедренный, AO = OB = 13 см. Прямая AB касается окружности, следовательно, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Пусть точка касания - точка H. Тогда OH перпендикулярно AB. Треугольник AHO - прямоугольный, где AO - гипотенуза, OH - катет (радиус), AH - катет, который надо найти. OH = 5 см, AO = 13 см. По теореме Пифагора: $$AO^2 = OH^2 + AH^2$$ $$13^2 = 5^2 + AH^2$$ $$169 = 25 + AH^2$$ $$AH^2 = 169 - 25$$ $$AH^2 = 144$$ $$AH = \sqrt{144}$$ $$AH = 12$$ Так как OH - высота и медиана в равнобедренном треугольнике, то AH = HB. Значит, AB = 2 * AH = 2 * 12 = 24 см. Ответ: 1) 24 см. Решение B1: Пусть стороны AB, BC и AC треугольника ABC касаются окружности в точках M, K и P соответственно. BM = 5 см, PC = 7 см, а периметр треугольника ABC равен 32 см. Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то BM = BK = 5 см, PC = CK = 7 см, AP = AM = x. Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = (BM + AM) + (BK + CK) + (AP + PC) = (5 + x) + (5 + 7) + (x + 7) = 32 $$5 + x + 12 + x + 7 = 32$$ $$2x + 24 = 32$$ $$2x = 32 - 24$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$ AM = AP = 4 см. AC = AP + PC = 4 + 7 = 11 см. Ответ: AC = 11 см. Решение B2: AB и BC - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 6 см. Угол ABC равен 60°. Нужно найти периметр четырехугольника ABCO. Так как AB и BC - касательные к окружности, то углы ABO и CBO равны. Значит, угол ABO = угол CBO = 60° / 2 = 30°. В прямоугольном треугольнике ABO (угол BAO = 90°) катет AO = 6 см, угол ABO = 30°. Тогда, $$AB = AO / tan(30°) = 6 / (1 / \sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$$ см. Так как AB = BC (касательные, проведенные из одной точки), то BC = $$6\sqrt{3}$$ см. AO = OC = 6 см (радиусы). Периметр четырехугольника ABCO = AB + BC + CO + OA = $$6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 + 6 = 12\sqrt{3} + 12 = 12(\sqrt{3} + 1)$$ см. Ответ: Периметр четырехугольника ABCO = $$12(\sqrt{3} + 1)$$ см. Решение C1: Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке E. Радиус окружности равен 6 см. Найти CE. Угол CAB = 30°. Угол ACB = 90° (опирается на диаметр). Угол ABC = 180° - 90° - 30° = 60°. Угол OCE = 90° (касательная перпендикулярна радиусу). Угол AOC = 2 * угол ABC = 2 * 60° = 120°. Угол OAC = угол OCA = (180° - 120°) / 2 = 30°. Угол ACE = угол OCE - угол OCA = 90° - 30° = 60°. Угол CAE = угол CAB = 30°. Угол AEC = 180° - угол ACE - угол CAE = 180° - 60° - 30° = 90°. Треугольник ACE - прямоугольный. AC = 2 * R * sin(ABC) = 2 * 6 * sin(60°) = 12 * $$(\sqrt{3} / 2)$$ = $$6\sqrt{3}$$. CE = AC * cos(ACE) = $$6\sqrt{3}$$ * cos(60°) = $$6\sqrt{3}$$ * (1/2) = $$3\sqrt{3}$$. Ответ: CE = $$3\sqrt{3}$$ см.