13 а) Решите уравнение \[\cos^2x + \sin^2(x-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 4π].

а) Решим уравнение: \[\cos^2x + \sin^2(x-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x + (\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4})^2 = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x + (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x)^2 = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x + \frac{1}{2}(\sin x - \cos x)^2 = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x + \frac{1}{2}(\sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x) = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x + \frac{1}{2}\sin^2x - \sin x \cos x + \frac{1}{2}\cos^2x = \frac{1}{2}\] \[\frac{3}{2}\cos^2x + \frac{1}{2}\sin^2x - \sin x \cos x = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{2}(2\cos^2x + \sin^2x) + \frac{1}{2}\cos^2x - \sin x \cos x = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{2}(\cos^2x + 1) + \frac{1}{2}\cos^2x - \sin x \cos x = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{2}\cos^2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^2x - \sin x \cos x = \frac{1}{2}\] \[\cos^2x - \sin x \cos x = 0\] \[\cos x(\cos x - \sin x) = 0\] Тогда, либо \(\cos x = 0\), либо \(\cos x - \sin x = 0\). 1) \(\cos x = 0\) \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 2) \(\cos x - \sin x = 0\) \[\cos x = \sin x\] \[\tan x = 1\] \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [3π; 4π]: 1) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) \[3\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 4\pi\]\[3 \le \frac{1}{2} + n \le 4\]\[2.5 \le n \le 3.5\] Так как \(n \in \mathbb{Z}\), то \(n = 3\). \[x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\] 2) \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\) \[3\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le 4\pi\]\[3 \le \frac{1}{4} + k \le 4\]\[2.75 \le k \le 3.75\] Так как \(k \in \mathbb{Z}\), то \(k = 3\). \[x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}\]