15.2 Решите неравенство \[\frac{9}{\log_3 x} - \log_3 \left( \frac{9}{x} \right) \le \frac{34}{\log_3^2 x}.\]

Преобразуем неравенство: \[\frac{9}{\log_3 x} - \log_3 9 + \log_3 x \le \frac{34}{(\log_3 x)^2}\] \[\frac{9}{\log_3 x} - 2 + \log_3 x \le \frac{34}{(\log_3 x)^2}\] Пусть \(t = \log_3 x\), тогда: \[\frac{9}{t} - 2 + t \le \frac{34}{t^2}\] \[\frac{9}{t} - 2 + t - \frac{34}{t^2} \le 0\] \[\frac{9t - 2t^2 + t^3 - 34}{t^2} \le 0\] \[\frac{t^3 - 2t^2 + 9t - 34}{t^2} \le 0\] Рассмотрим числитель: \(t^3 - 2t^2 + 9t - 34 = 0\). Заметим, что \(t = 4\) является корнем, так как: \[4^3 - 2 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4 - 34 = 64 - 32 + 36 - 34 = 34
eq 0\] Попробуем \(t=2\): \[2^3 - 2 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 - 34 = 8 - 8 + 18 - 34 = -16
eq 0\] Попробуем \(t=3\): \[3^3 - 2 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 - 34 = 27 - 18 + 27 - 34 = 2
eq 0\] Попробуем \(t=5\): \[5^3 - 2 \cdot 5^2 + 9 \cdot 5 - 34 = 125 - 50 + 45 - 34 = 86
eq 0\] Попробуем \(t=3.12\): \[(3.12)^3 - 2 \cdot (3.12)^2 + 9 \cdot (3.12) - 34 = 30.37 - 19.45 + 28.08 - 34 = 4.99
eq 0\] Убеждаемся что \(t=3.12\) не является корнем. Делаем вывод, что уравнение не имеет целых корней. Делаем вывод, что решить аналитически не предоставляется возможным.