а) Решите уравнение 2cos(x++√2sinx=2sin(x+√2cosx. 6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5元; – 4π].

Решение уравнения

Для начала упростим уравнение:

\[2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin x = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\cos x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x\]

Вынесем общие множители:

\[2\left(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)\]

Вспомним формулы для косинуса и синуса суммы:

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\] \[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]

Тогда:

\[\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)\] \[\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)\]

Подставим в уравнение:

\[2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)\right) = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)\] \[\sqrt{2}(\cos x - \sin x) - \sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}(\cos x - \sin x)\] \[\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x\] \[-\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x\] \[-2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x\] \[0 = \sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x\] \[0 = \cos x + \sin x\] \[-\sin x = \cos x\]

Разделим обе части на cos x (с учетом, что cos x ≠ 0):

\[\tan x = -1\]

Решениями этого уравнения являются:

\[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Поиск корней на отрезке [-5π, -4π]

Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [-5π, -4π].

Для этого найдем целые значения k, при которых выполняется условие:

\[-5\pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le -4\pi\]

Разделим все части неравенства на π:

\[-5 \le -\frac{1}{4} + k \le -4\]

Прибавим 1/4 ко всем частям:

\[-5 + \frac{1}{4} \le k \le -4 + \frac{1}{4}\] \[-\frac{19}{4} \le k \le -\frac{15}{4}\] \[-4.75 \le k \le -3.75\]

Таким образом, k может быть только -4.

Тогда корень уравнения будет:

\[x = -\frac{\pi}{4} + \pi (-4) = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}\]

Ответ:

а) \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

б) \[x = -\frac{17\pi}{4}\]