Решите неравенство √(x-4)²-x²+√x+4>√4x+16

Решение неравенства

\[\sqrt{(x-4)^2} - x^2 + \sqrt{x+4} > \sqrt{4x+16}\]

Сначала упростим выражение, учитывая, что \(\sqrt{a^2} = |a|\):

\[|x-4| - x^2 + \sqrt{x+4} > \sqrt{4(x+4)}\] \[|x-4| - x^2 + \sqrt{x+4} > 2\sqrt{x+4}\] \[|x-4| - x^2 > \sqrt{x+4}\]

ОДЗ: \(x+4 \ge 0\), то есть \(x \ge -4\).

Рассмотрим два случая:

1. \(x \ge 4\):
\[x-4 - x^2 > \sqrt{x+4}\] \[-x^2 + x - 4 > \sqrt{x+4}\]

Так как \(x \ge 4\), то \(-x^2 + x - 4 < 0\), а \(\sqrt{x+4} \ge 0\). Следовательно, неравенство не имеет решений при \(x \ge 4\).

2. \(-4 \le x < 4\):
\[4-x - x^2 > \sqrt{x+4}\] \[-x^2 - x + 4 > \sqrt{x+4}\]

Возведем обе части в квадрат (обе части положительные):

\[(-x^2 - x + 4)^2 > x+4\] \[(x^2 + x - 4)^2 > x+4\] \[x^4 + x^2 + 16 + 2x^3 - 8x^2 - 8x > x+4\] \[x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 9x + 12 > 0\]

Это уравнение сложно решить аналитически. Однако, можно заметить, что при \(x=-3\):

\[(-3)^4 + 2(-3)^3 - 7(-3)^2 - 9(-3) + 12 = 81 - 54 - 63 + 27 + 12 = 3 > 0\]

При \(x=-2\):

\[(-2)^4 + 2(-2)^3 - 7(-2)^2 - 9(-2) + 12 = 16 - 16 - 28 + 18 + 12 = 2 > 0\]

При \(x=-1\):

\[(-1)^4 + 2(-1)^3 - 7(-1)^2 - 9(-1) + 12 = 1 - 2 - 7 + 9 + 12 = 13 > 0\]

При \(x=0\):

\[0^4 + 2(0)^3 - 7(0)^2 - 9(0) + 12 = 12 > 0\]

При \(x=1\):

\[1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 9(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 9 + 12 = -1 < 0\]

При \(x=2\):

\[2^4 + 2(2)^3 - 7(2)^2 - 9(2) + 12 = 16 + 16 - 28 - 18 + 12 = -2 < 0\]

При \(x=3\):

\[3^4 + 2(3)^3 - 7(3)^2 - 9(3) + 12 = 81 + 54 - 63 - 27 + 12 = 57 > 0\]

Неравенство выполняется примерно на интервале \(-4 \le x < 1\) и около 3.

Для более точного решения можно использовать численные методы или построить график.

Приблизительные интервалы, где выполняется неравенство: \([-4; x_1) \cup (x_2; 4)\), где \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 9x + 12 = 0\) на интервале \((-4; 4)\).

Ответ: \([-4; x_1) \cup (x_2; 4)\)