4. а) Решите уравнение 2sin2x + 2sin(-x) - 2cos(-x) + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

a) Решим уравнение: \[2\sin(2x) + 2\sin(-x) - 2\cos(-x) + 1 = 0\] Используем свойства тригонометрических функций: \[\sin(-x) = -\sin(x)\] и \[\cos(-x) = \cos(x)\] Тогда уравнение примет вид: \[2\sin(2x) - 2\sin(x) - 2\cos(x) + 1 = 0\] Используем формулу двойного угла: \[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\] Подставим в уравнение: \[2(2\sin(x)\cos(x)) - 2\sin(x) - 2\cos(x) + 1 = 0\] \[4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) - 2\cos(x) + 1 = 0\] \[2\sin(x)(2\cos(x) - 1) - (2\cos(x) - 1) = 0\] \[(2\sin(x) - 1)(2\cos(x) - 1) = 0\] Теперь решим два уравнения: \[2\sin(x) - 1 = 0\] и \[2\cos(x) - 1 = 0\] 1) \[\sin(x) = \frac{1}{2}\] \[x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 2) \[\cos(x) = \frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] б) Укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку \[\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] 1) \[x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n\] Подставим разные значения *n*, чтобы найти корни в заданном интервале: * n = 2: \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \approx [7.85; 12.57]\] - Не подходит. * n = 3: \[x = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.9 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] * n = 4: \[x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09
otin \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] - Не подходит. 2) \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\] Подставим разные значения *k*, чтобы найти корни в заданном интервале: * k = 1: \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] \[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24
otin \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] - Не подходит. * k = 2: \[x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \approx 13.61
otin \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] - Не подходит. \[x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 11.52 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] Ответ: а) \[x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] б) \[\frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \frac{17\pi}{6}\]