А1. Решите уравнение: a) x²-3x-4/x+1=0, б) x+7=8/x, в) x/x+2 + x+2/x-2 = 8/x²-4

a) Решим уравнение: $$\frac{x^2-3x-4}{x+1}=0$$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, $$x^2-3x-4=0$$ и $$x+1≠0$$.

Решим квадратное уравнение $$x^2-3x-4=0$$.

По теореме Виета:

• $$x_1+x_2=3$$
• $$x_1 \cdot x_2=-4$$

$$x_1=-1$$, $$x_2=4$$.

Проверим условие $$x+1≠0$$.

Если $$x=-1$$, то $$(-1)+1=0$$, что не удовлетворяет условию.

Если $$x=4$$, то $$4+1=5≠0$$, что удовлетворяет условию.

Следовательно, корень уравнения $$x=4$$.

Ответ: 4

б) Решим уравнение: $$x+7=\frac{8}{x}$$.

Умножим обе части уравнения на $$x$$, чтобы избавиться от дроби:

$$x(x+7)=8$$

$$x^2+7x=8$$

$$x^2+7x-8=0$$

По теореме Виета:

• $$x_1+x_2=-7$$
• $$x_1 \cdot x_2=-8$$

$$x_1=1$$, $$x_2=-8$$.

Оба корня удовлетворяют условию $$x≠0$$, так как в исходном уравнении есть дробь со знаменателем $$x$$.

Ответ: 1; -8

в) Решим уравнение: $$\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю, учитывая, что $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$:

$$\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}$$

$$x(x-2)+(x+2)(x+2)=8$$

$$x^2-2x+x^2+4x+4=8$$

$$2x^2+2x+4=8$$

$$2x^2+2x-4=0$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2+x-2=0$$

По теореме Виета:

• $$x_1+x_2=-1$$
• $$x_1 \cdot x_2=-2$$

$$x_1=1$$, $$x_2=-2$$.

Проверим, чтобы знаменатели не обращались в ноль. В исходном уравнении есть дроби со знаменателями $$x+2$$ и $$x-2$$.

Если $$x=-2$$, то $$x+2=0$$, что недопустимо.

Если $$x=1$$, то $$x+2=3≠0$$ и $$x-2=-1≠0$$, что допустимо.

Следовательно, корень уравнения $$x=1$$.

Ответ: 1