В1. Найдите кории уравнения: x-2/x+1 + x+1/x-2 = 4 1/4

Решим уравнение: $$\frac{x-2}{x+1} + \frac{x+1}{x-2} = 4\frac{1}{4}$$.

Заметим, что $$4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$$.

Пусть $$t = \frac{x-2}{x+1}$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$$

Умножим обе части уравнения на $$4t$$:

$$4t^2 + 4 = 17t$$

$$4t^2 - 17t + 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$$

$$t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$

$$t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$.

1) Если $$t = 4$$, то $$\frac{x-2}{x+1} = 4$$

$$x-2 = 4(x+1)$$

$$x-2 = 4x+4$$

$$3x = -6$$

$$x = -2$$

2) Если $$t = \frac{1}{4}$$, то $$\frac{x-2}{x+1} = \frac{1}{4}$$

$$4(x-2) = x+1$$

$$4x-8 = x+1$$

$$3x = 9$$

$$x = 3$$

Проверим, чтобы знаменатели не обращались в ноль: $$x+1≠0$$ и $$x-2≠0$$.

Если $$x=-2$$, то $$x+1=-1≠0$$ и $$x-2=-4≠0$$.

Если $$x=3$$, то $$x+1=4≠0$$ и $$x-2=1≠0$$.

Следовательно, корни уравнения $$x=-2$$ и $$x=3$$.

Ответ: -2; 3