12. а) Серединные перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в точке O. Найдите расстояние от точки O до середины основания, если боковая сторона равна a, а один из углов треугольника равен 120°. б) Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Докажите, что ∠A = 90°. в) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AB=14 см, ∠A=3∠C и ∠B=2∠C. г) Докажите, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.

Решение: а) Серединные перпендикуляры в равнобедренном треугольнике. Предположим, что дан равнобедренный треугольник (ABC), где (AB = AC = a), и угол при вершине (A) равен (120^circ). Пусть (O) – точка пересечения серединных перпендикуляров. Поскольку треугольник равнобедренный, серединный перпендикуляр к основанию (BC) является также и медианой, и высотой. Значит, точка (O) лежит на этом перпендикуляре. Пусть (M) – середина основания (BC). Наша задача – найти расстояние (OM). Так как (\angle BAC = 120^\circ), то (\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ). Рассмотрим треугольник (ABM). В нем (\angle AMB = 90^\circ), (\angle ABM = 30^\circ), и (AB = a). Тогда (AM = AB \cdot \sin(\angle ABM) = a \cdot \sin(30^\circ) = a/2). Так как (O) – точка пересечения серединных перпендикуляров, она является центром описанной окружности. Следовательно, (OA = OB = OC = R), где (R) – радиус описанной окружности. По теореме синусов, (\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R). Мы имеем (\sin(\angle BAC) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}). Чтобы найти (BC), воспользуемся теоремой косинусов: (BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-1/2) = 3a^2). Таким образом, (BC = a\sqrt{3}). Теперь (2R = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2a), следовательно, (R = a). Значит, (OA = a). Теперь рассмотрим треугольник (OAM). Мы знаем, что (OA = a) и (AM = a/2). Следовательно, (OM = OA - AM = a - a/2 = a/2). Ответ: Расстояние от точки (O) до середины основания равно (\frac{a}{2}\). б) Доказательство ∠A = 90°. Пусть серединные перпендикуляры к сторонам (AB) и (AC) треугольника (ABC) пересекаются в точке (D), лежащей на стороне (BC). Так как точка (D) лежит на серединном перпендикуляре к (AB), то (DA = DB). Аналогично, так как (D) лежит на серединном перпендикуляре к (AC), то (DA = DC). Отсюда следует, что (DA = DB = DC). Это означает, что точка (D) является центром окружности, описанной около треугольника (ABC), и лежит на стороне (BC). Но центр описанной окружности может лежать на стороне треугольника только в том случае, если этот треугольник прямоугольный, и гипотенуза является диаметром этой окружности. Следовательно, угол (A) – прямой, то есть (\angle A = 90^\circ). в) Нахождение радиуса описанной окружности. Дано: (AB = 14) см, (\angle A = 3\angle C) и (\angle B = 2\angle C). Сумма углов треугольника равна (180^\circ), поэтому (\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ). Подставляя известные значения, получаем: (3\angle C + 2\angle C + \angle C = 180^\circ), следовательно, (6\angle C = 180^\circ), и (\angle C = 30^\circ). Тогда (\angle A = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ) и (\angle B = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ). Так как (\angle A = 90^\circ), треугольник (ABC) – прямоугольный. Сторона (BC) является гипотенузой. Радиус (R) окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Чтобы найти (BC), мы можем воспользоваться теоремой синусов: (\frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R), где (AB = 14) см и (\angle C = 30^\circ). (2R = \frac{14}{\sin(30^\circ)} = \frac{14}{1/2} = 28), следовательно, (R = 14) см. Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника (ABC), равен 14 см. г) Доказательство. Пусть (ABC) – данный треугольник, (L) – точка пересечения биссектрисы угла (A) с описанной окружностью. Нужно доказать, что точка (L) лежит на серединном перпендикуляре к стороне (BC). Так как (AL) – биссектриса угла (A), то (\angle BAL = \angle CAL). Углы (\angle CBL) и (\angle CAL) опираются на одну и ту же дугу (CL), следовательно, (\angle CBL = \angle CAL). Аналогично, углы (\angle BCL) и (\angle BAL) опираются на дугу (BL), следовательно, (\angle BCL = \angle BAL). Из этого следует, что (\angle CBL = \angle BCL). Значит, треугольник (BCL) – равнобедренный, и (BL = CL). Теперь рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне (BC). Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от концов отрезка (BC). Так как (BL = CL), точка (L) равноудалена от точек (B) и (C). Следовательно, точка (L) лежит на серединном перпендикуляре к стороне (BC). Таким образом, точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника (а именно, к стороне, противоположной этому углу).