12. а) Серединные перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в точке O. Найдите расстояние от точки O до середины основания, если боковая сторона равна a, а один из углов треугольника равен 120°. б) Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Докажите, что ∠A = 90°.

Решение: а) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = a и ∠B = ∠C. Так как один из углов равен 120°, то это угол при вершине A, то есть ∠A = 120°. Тогда углы при основании равны: ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 = 30°. Пусть O – точка пересечения серединных перпендикуляров. Тогда O – центр описанной окружности. Пусть M – середина основания BC. Тогда OM – искомое расстояние. Так как OA = OB = OC = R (радиус описанной окружности), то треугольник OBC – равнобедренный. ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 120° = 240°. Однако, это центральный угол, который должен быть меньше 180°. Поэтому, нужно рассматривать дугу BC, не содержащую точку A. Тогда ∠BOC = 360° - 240° = 120°. ∠OBC = ∠OCB = (180° - 120°) / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник OMB – прямоугольный, так как OM – серединный перпендикуляр к BC. Тогда: $BM = AB * sin(∠A/2)$ $BM = a * sin(60°) = a * \frac{\sqrt{3}}{2}$. $OB = \frac{BM}{sin(∠BOM)}$ ∠BOM = ∠BOC / 2 = 120° / 2 = 60°. $OB = \frac{BM}{sin(∠BOM)} = \frac{a\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin(60)} = \frac{a\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = a$. Тогда $OM = OB * cos(∠BOM) = a * cos(60°) = a * \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$. Ответ: Расстояние от точки O до середины основания равно $\frac{a}{2}$. б) Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекаются в точке D, лежащей на стороне BC. Пусть O1 – середина AB, O2 – середина AC. Тогда DO1 ⊥ AB и DO2 ⊥ AC. Так как D лежит на BC, то BD + DC = BC. Так как D – точка пересечения серединных перпендикуляров, то DA = DB = DC. (D является центром описанной окружности для треугольника ABC) Следовательно, треугольник ABD – равнобедренный, и треугольник ACD – равнобедренный. Пусть ∠B = α, ∠C = β. Тогда, так как треугольники ABD и ACD равнобедренные, ∠BAD = ∠B = α и ∠CAD = ∠C = β. ∠A = ∠BAD + ∠CAD = α + β. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. α + β + α + β = 180°. 2α + 2β = 180°. 2(α + β) = 180°. α + β = 90°. ∠A = α + β = 90°. Следовательно, ∠A = 90°. Развернутое объяснение: а) В данной задаче нам дано, что серединные перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в точке O. Нам нужно найти расстояние от точки O до середины основания, зная, что боковая сторона равна a, а один из углов треугольника равен 120°. Чтобы решить эту задачу, мы сначала определили углы при основании, а затем использовали свойства описанной окружности и прямоугольных треугольников, чтобы найти искомое расстояние. б) Здесь нам дано, что серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Нам нужно доказать, что угол A равен 90°. Для этого мы использовали свойства серединных перпендикуляров, равнобедренных треугольников и суммы углов в треугольнике, чтобы показать, что угол A действительно равен 90°.