379. а) Точки А и В делят окружность с центром О на две дуги. Найдите длину меньшей дуги, если длина меньшей дуги 32 и ∠AOB = 60°. б) Точки А и В делят окружность с центром О на две дуги. Найдите длину меньшей дуги, если длина большей дуги 24 и ∠AOB = 40°. в) Точки А и В делят окружность с центром О на две дуги. Найдите длину большей дуги, если длина меньшей дуги 45 и ∠AOB = 150°. г) Точки А и В делят окружность с центром О на две дуги. Найдите длину меньшей дуги, если длина большей дуги 126 и ∠AOB = 108°.

Давайте решим эти задачи по геометрии, используя пропорции между длиной дуги и центральным углом. а) Известно: Длина меньшей дуги = 32, ∠AOB = 60°. Нужно найти: Длину окружности (L). Полная окружность соответствует 360°. Составим пропорцию: $\frac{32}{60} = \frac{L}{360}$ Решаем уравнение для L: $L = \frac{32 \cdot 360}{60} = 32 \cdot 6 = 192$ Длина окружности равна 192. Так как длина меньшей дуги известна (32), то ответ уже дан в условии. Длина меньшей дуги = 32 б) Известно: Длина большей дуги = 24, ∠AOB = 40°. Нужно найти: Длину меньшей дуги (x). Угол, соответствующий большей дуге, равен 40°. Следовательно, угол, соответствующий меньшей дуге, равен 360° - 40° = 320°. Составим пропорцию: $\frac{24}{320} = \frac{x}{40}$ Решаем уравнение для x: $x = \frac{24 \cdot 40}{320} = \frac{24}{8} = 3$ Длина меньшей дуги = 3 в) Известно: Длина меньшей дуги = 45, ∠AOB = 150°. Нужно найти: Длину большей дуги (x). Угол, соответствующий меньшей дуге, равен 150°. Следовательно, угол, соответствующий большей дуге, равен 360° - 150° = 210°. Составим пропорцию: $\frac{45}{150} = \frac{x}{210}$ Решаем уравнение для x: $x = \frac{45 \cdot 210}{150} = \frac{3 \cdot 210}{10} = \frac{630}{10} = 63$ Длина большей дуги = 63 г) Известно: Длина большей дуги = 126, ∠AOB = 108°. Нужно найти: Длину меньшей дуги (x). Угол, соответствующий большей дуге, равен 108°. Следовательно, угол, соответствующий меньшей дуге, равен 360° - 108° = 252°. Составим пропорцию: $\frac{x}{108} = \frac{126}{252}$ Решаем уравнение для x: $x = \frac{126 \cdot 108}{252} = \frac{108}{2} = 54$ Длина меньшей дуги = 54 Развёрнутый ответ для школьника: Чтобы решить задачи про дуги и окружности, мы используем простое правило: длина дуги относится к её углу так же, как длина всей окружности относится к 360 градусам. Это позволяет нам составлять пропорции и находить неизвестные длины дуг. Например, если мы знаем длину большей дуги и её угол, мы можем найти длину меньшей дуги, сначала определив её угол (360 градусов минус угол большей дуги), а затем используя пропорцию.