А5. \(\triangle ABC\) – равносторонний, \(BM \perp AC\), \(BK : KM = 2 : 1\), \(AB=8\sqrt{3}\), \(DC = 10\), \(DK \perp (ABC)\). Найдите DK.

Давайте решим эту задачу по геометрии шаг за шагом. 1. Анализ условия: - \(\triangle ABC\) – равносторонний, следовательно, все его стороны равны, и все углы равны 60 градусам. - \(BM \perp AC\), значит, BM - высота треугольника ABC. - \(BK : KM = 2 : 1\), это отношение отрезков на высоте BM. - \(AB = 8\sqrt{3}\) – длина стороны треугольника ABC. - \(DC = 10\). - \(DK \perp (ABC)\) – DK перпендикулярна плоскости ABC. 2. Нахождение высоты BM: В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Высоту можно найти по формуле: $$BM = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}$$ Подставим значение AB: $$BM = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$ 3. Нахождение KM: Дано отношение \(BK : KM = 2 : 1\), следовательно, BM состоит из 3 частей, где KM составляет одну часть. $$KM = \frac{BM}{3} = \frac{12}{3} = 4$$ 4. Рассмотрение треугольника DKC: \(\triangle DKC\) – прямоугольный треугольник, так как \(DK \perp (ABC)\). Мы знаем DC = 10. Нам нужно найти DK. Чтобы найти DK, рассмотрим треугольник \(\triangle KMC\). 5. Нахождение KC: Рассмотрим прямоугольный \(\triangle BMC\). Мы знаем \(BC = 8\sqrt{3}\) и \(MC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\). По теореме Пифагора: $$BM^2 + MC^2 = BC^2$$ $$12^2 = (4\sqrt{3})^2 + BM^2$$ Также рассмотрим \(\triangle KMC\) – прямоугольный, где \(KM = 4\), а \(\angle KMC = 90^\circ\). Мы знаем, что \(MC = 4\sqrt{3}\), тогда по теореме Пифагора: $$KC^2 = KM^2 + MC^2$$ $$KC^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$$ $$KC = \sqrt{64} = 8$$ 6. Нахождение DK: Теперь рассмотрим \(\triangle DKC\) – прямоугольный, где \(DC = 10\), \(KC = 8\). По теореме Пифагора: $$DK^2 + KC^2 = DC^2$$ $$DK^2 + 8^2 = 10^2$$ $$DK^2 = 100 - 64 = 36$$ $$DK = \sqrt{36} = 6$$ Ответ: 6