Определим, в каких случаях пишется мягкий знак в глаголах:
- Мягкий знак пишется в неопределённой форме глагола (что делать? что сделать?).
- Мягкий знак пишется в форме 2-го лица единственного числа (что делаешь? что сделаешь?).
- Мягкий знак пишется перед -ся, если он есть в вопросе к глаголу.
Проанализируем предложенные варианты:
- "Трудится", "учится" - вопросы "что делает?", мягкий знак не нужен.
- "Учиться", "заниматься" - вопросы "что делать?", нужен мягкий знак.
- "Не слушается", "пригодится" - вопросы "что делает?", мягкий знак не нужен.
- "Напиться", "умывается" - вопрос к первому глаголу "что сделать?", нужен мягкий знак; вопрос ко второму глаголу "что делает?", мягкий знак не нужен.
Таким образом, оба слова с мягким знаком пишутся только во втором варианте.
Ответ: 2