Глагол-инфинитив - это неопределенная форма глагола, которая отвечает на вопросы «что делать?» или «что сделать?». Обстоятельство - это второстепенный член предложения, который обозначает место, время, причину, цель, образ действия и т.д.
1) Я должен найти ключ к этой тайне! - инфинитив является частью сказуемого.
2) Проводник попросил провожающих покинуть вагон. - инфинитив является дополнением.
3) Лыжники продолжали упорно тренироваться. - инфинитив является частью сказуемого.
4) Брат ездил в Москву поступать в академию. - инфинитив является обстоятельством цели.
Ответ: 4) Брат ездил в Москву поступать в академию.