333. а) В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший из двух острых углов треугольника. б) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника. в) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

Приветствую, ребята! Сегодня мы с вами разберём три задачи, связанные с прямоугольными треугольниками. Давайте приступим к решению каждой из них по порядку, чтобы всё было понятно. а) Угол между биссектрисой и медианой равен 18° 1. Обозначения: * Пусть данный прямоугольный треугольник будет $$\triangle ABC$$, где $$\angle C = 90^{\circ}$$. * $$CM$$ - медиана, $$CL$$ - биссектриса, проведённые из вершины $$C$$. * Дано, что $$\angle MCL = 18^{\circ}$$. 2. Свойство медианы: * В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, $$AM = MB = CM$$. * Тогда $$\triangle AMC$$ - равнобедренный, и $$\angle MAC = \angle MCA$$. 3. Найдём $$\angle MCA$$: * Обозначим $$\angle MAC = \angle MCA = x$$. * Тогда $$\angle LCA = \angle MCA + \angle MCL = x + 18^{\circ}$$. 4. Свойство биссектрисы: * Так как $$CL$$ - биссектриса, то $$\angle ACB$$ делится пополам, значит $$\angle ACL = \angle LCB = 45^{\circ}$$. * Следовательно, $$x + 18^{\circ} = 45^{\circ}$$. 5. Вычислим $$x$$: * $$x = 45^{\circ} - 18^{\circ} = 27^{\circ}$$. * Итак, $$\angle A = 27^{\circ}$$. 6. Найдём $$\angle B$$: * Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. * $$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ}$$. 7. Ответ: * Больший из острых углов равен 63°. б) Угол между высотой и медианой равен 32° 1. Обозначения: * Пусть данный прямоугольный треугольник будет $$\triangle ABC$$, где $$\angle C = 90^{\circ}$$. * $$CM$$ - медиана, $$CH$$ - высота, проведённые из вершины $$C$$. * Дано, что $$\angle HCM = 32^{\circ}$$. 2. Свойство медианы: * В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, $$AM = MB = CM$$. * Тогда $$\triangle AMC$$ - равнобедренный, и $$\angle MAC = \angle MCA$$. 3. Найдём $$\angle A$$: * Обозначим $$\angle MAC = \angle MCA = y$$. * $$\angle MCA = \angle HCM + \angle HCA = 32^{\circ} + \angle HCA = y$$. 4. Угол между высотой и гипотенузой: * В $$\triangle ACH$$: $$\angle A + \angle ACH = 90^{\circ}$$. * Тогда $$\angle ACH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - y$$. 5. Вычислим $$y$$: * $$y = 32^{\circ} + (90^{\circ} - y)$$. * $$2y = 32^{\circ} + 90^{\circ} = 122^{\circ}$$. * $$y = \frac{122^{\circ}}{2} = 61^{\circ}$$. * Итак, $$\angle A = 61^{\circ}$$. 6. Найдём $$\angle B$$: * Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. * $$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 61^{\circ} = 29^{\circ}$$. 7. Ответ: * Меньший из острых углов равен 29°. в) Угол между высотой и биссектрисой равен 26° 1. Обозначения: * Пусть данный прямоугольный треугольник будет $$\triangle ABC$$, где $$\angle C = 90^{\circ}$$. * $$CL$$ - биссектриса, $$CH$$ - высота, проведённые из вершины $$C$$. * Дано, что $$\angle HCL = 26^{\circ}$$. 2. Угол между биссектрисой и стороной: * Так как $$CL$$ - биссектриса, то $$\angle ACL = \angle LCB = 45^{\circ}$$. 3. Найдём $$\angle HCA$$: * $$\angle HCA = \angle ACL - \angle HCL = 45^{\circ} - 26^{\circ} = 19^{\circ}$$. 4. Угол между высотой и гипотенузой: * В $$\triangle ACH$$: $$\angle A + \angle HCA = 90^{\circ}$$. * Тогда $$\angle A = 90^{\circ} - \angle HCA = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}$$. 5. Найдём $$\angle B$$: * Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. * $$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 71^{\circ} = 19^{\circ}$$. 6. Ответ: * Больший из острых углов равен 71°. Надеюсь, теперь вам всё понятно! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!