а) (2x - 1)⁴ - x² = 0; 6) x⁴ - 4x³ + 4x² = (7x + 1)²;

a) (2x - 1)⁴ - x² = 0

• Шаг 1: Перепишем уравнение как разность квадратов: \[((2x - 1)^2)^2 - x^2 = 0\]
• Шаг 2: Разложим на множители, используя формулу разности квадратов a² - b² = (a - b)(a + b): \[((2x - 1)^2 - x)((2x - 1)^2 + x) = 0\]
• Шаг 3: Раскроем скобки: \[(4x^2 - 4x + 1 - x)(4x^2 - 4x + 1 + x) = 0\] \[(4x^2 - 5x + 1)(4x^2 - 3x + 1) = 0\]
• Шаг 4: Решим первое квадратное уравнение 4x² - 5x + 1 = 0. Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4(4)(1) = 25 - 16 = 9\]
• Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения: \[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(4)} = \frac{5 + 3}{8} = 1\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(4)} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4}\]
• Шаг 6: Решим второе квадратное уравнение 4x² - 3x + 1 = 0. Найдем дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7\]
• Шаг 7: Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
• Шаг 8: Запишем корни уравнения: \[x = 1, x = \frac{1}{4}\]

б) x⁴ - 4x³ + 4x² = (7x + 1)²

• Шаг 1: Раскроем скобки в правой части уравнения: \[x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 49x^2 + 14x + 1\]
• Шаг 2: Перенесем все в левую часть уравнения: \[x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 49x^2 - 14x - 1 = 0\] \[x^4 - 4x^3 - 45x^2 - 14x - 1 = 0\]
• Шаг 3: Заметим, что при x = -1 уравнение обращается в верное равенство: \[(-1)^4 - 4(-1)^3 - 45(-1)^2 - 14(-1) - 1 = 1 + 4 - 45 + 14 - 1 = -27
  eq 0\] Это неверно, значит, надо искать другие методы решения или корни.

Ответ: а) x = 1, x = 1/4; б) Нет рациональных корней.